Das vorliegende Buch ist aus einftihrenden Vorlesungen tiber Funktionentheorie mehre- rer Veranderlicher entstanden. Seine Idee ist es, den Leser exemplarisch mit den wich- tigsten Teilgebieten und Methoden dieser Theorie vertraut zu machen. Dazu gehoren et- wa die Probleme der holomorphen Fortsetzung, die algebraische Behandlung der Po- tenzreihen, die Garben-und die Gohomologietheorie und die reellen Methoden, die von den elliptischen partiellen Differentialgleichungen herrtihren. 1m erst en Kapitel beginnen wir mit der Definition von holomorphen Funktionen mehrerer Veranderlicher, deren Darstellung durch das Gauchyintegral und deren Po- tenzreihenentwicklung auf Reinhardtschen Korpern. E s zeigt sich, daJ3 es im Gegensatz zur Theorie einer Veranderlichen ftir n 2 Gebiete G, d c a:: n mit G c d und G '" d gibt, derart, daJ3 jede in G holomorphe Funktion sich nach d holomorph fortsetzen laJ3t. Gebiete G, die kein solches G besitzen, heiBen Holomorphiegebiete. Diese Holomorphie- gebiete werden im zweiten Kapitel auf verschiedene Weise charakterisiert (Satz von Gar- tan - Thullen, Levisches Problem). SchlieBlich wird zu jedem Gebiet G die Holomorphie- htille H(G) konstruiert. Das ist das groBte (nicht notwendig schlichte) Gebiet tiber dem n a:: , in das hinein sich jede in G holomorphe Funktion holomorph fortsetzen laJ3t.
